Question

已知

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，求

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

．

Answer 1

考點：對稱式和輪換對稱式

專題：計算題

分析：設

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=k，則有y+z=kx①，z+x=ky②，x+y=kz③，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³．由①+②+③可求出k=2或-1，就可解決問題．

解答：解：設

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=k，
則有y+z=kx①，z+x=ky②，x+y=kz③，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³．
由①+②+③得：2x+2y+2z=kx+ky+kz，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
∴（k-2）（x+y+z）=0，
∴k=2或x+y+z=0，
∴k=2或k=

y+z

x

=

-x

x

=-1．
Ⅰ．當k=2時，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³=8；
Ⅱ．當k=-1時，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³=-1．
綜上所述：

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

的值為8或-1．

點評：本題考查的是求輪換對稱式的值，運用整體思想是解決本題的關鍵，需要注意的是：由于x+y+z可能為0，因此在運用等式2（x+y+z）=k（x+y+z）求k的過程中，等式兩邊不能同時除以x+y+z，只能通過移項并提取公因式來解決問題．