【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,點B的坐標為(3,0),與y軸相交于點C(0,﹣3),頂點為D.

(1)求出拋物線y=x2+bx+c的表達式;
(2)連結(jié)BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點,過點P作PF∥DE交拋物線于點F,設(shè)點P的橫坐標為m.
①當m為何值時,四邊形PEDF為平行四邊形.
②設(shè)四邊形OBFC的面積為S,求S的最大值.

【答案】
(1)

解:∵拋物線過B、C兩點,

,解得 ,

∴拋物線表達式為y=x2﹣2x﹣3


(2)

解:①∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴直線BC解析式為y=x﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴D(1,﹣4),

∴E(1,﹣2),

∴DE=﹣2﹣(﹣4)=2,

∵PF∥DE,且P(m,m﹣3),

∴F(m,m2﹣2m﹣3),

∵點P為線段BC上的一個動點,

∴PF=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,

當四邊形PEDF為平行四邊形時,則有PF=DE=2,

即﹣m2+3m=2,解得m=1(舍去)或m=2,

∴當m的值為2時,四邊形PEDF為平行四邊形;②由①可知PF=﹣m2+3m,

∴SFBC= PFOB= ×3(﹣m2+3m)=﹣ (m﹣ 2+ ,

∵SOBC= OBOC= ×3×3= ,

∴S=SFBC+SOBC=﹣ (m﹣ 2+ + =﹣ (m﹣ 2+

∵﹣ <0,

∴當m= 時,S有最大值


【解析】(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達式;(2)①可求得直線BC的解析式,則可表示出P、F的坐標,從而可表示出PF和DE的長,由平行四邊形的性質(zhì)可知PF=DE,則可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值;②用m可表示出PF的長,則可表示出△BCF的面積,從而可表示出四邊形OBFC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

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【題目】如圖,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,試回答下列問題:

(1)如圖①,求證:OB∥AC.

(2)如圖②,若點E、F在線段BC上,且滿足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF.求∠EOC的度數(shù).

(3)在(2)的條件下,若平行移動AC,如圖③,那么∠OCB:∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化?若變化,試說明理由;若不變,求出這個比值.

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①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③拋物線與x軸的另一個交點是(4,0);
④點(﹣3,y1),(6,y2)都在拋物線上,則有y1<y2 . 其中正確的個數(shù)為( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】如圖,在 ABC中,AD平分 BAC,按如下步驟作圖:
第一步,分別以點A、D為圓心,以大于 AD的長為半徑在AD兩側(cè)做弧,交于兩點M、N;
第二步,連接MN分別交AB、AC于點E、F;
第三步,連接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是( ).

A.2
B.4
C.6
D.8

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【題目】(A2013防城港)如圖,在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形.甲、乙兩人的作法如下: 甲:連接AC,作AC的垂直平分線MN分別交AD,AC,BC于M,O,N,連接AN,CM,則四邊形ANCM是菱形.
乙:分別作∠A,∠B的平分線AE,BF,分別交BC,AD于E,F(xiàn),連接EF,則四邊形ABEF是菱形.
根據(jù)兩人的作法可判斷( 。

A.甲正確,乙錯誤
B.乙正確,甲錯誤
C.甲、乙均正確
D.甲、乙均錯誤

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【題目】用圓規(guī)、直尺作圖,不寫作法,但到保留作圖痕跡.
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求作:正方形ABCD,使其對角線AC=a.

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(參考數(shù)據(jù):sin22°≈ ,cos22°≈ ,tan22°≈

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(2)如圖2,CD與AB交點為F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的長.

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A.2
B.3
C.4
D.5

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