Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．

（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng) MN的值最大時(shí)，求△BMN的周長．
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1 ， △ABN的面積為S2 ， 且S1=4S2 ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

將B（4，0），C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，

得， ，

∴

所以直線BC的解析式為y=﹣x+4；

將B（4，0），C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4

（2）

解：如圖1，

設(shè)M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），則N（x，﹣x+4），

∵M(jìn)N=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，MN有最大值4；

∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2 ，BM=2

∴△BMN的周長=4+2 +2 =4+4

（3）

解：令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面積S2=×3×2=3，

∴平行四邊形CBPQ的面積S1=4S2=12．

如圖2，

設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BCBD=12，

∴BD= ．

過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，連接CQ，則四邊形CBPQ為平行四邊形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD為等腰直角三角形，由勾股定理可得BE= BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣x+t，

將E（1，0），代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直線PQ的解析式為y=﹣x+1．

解方程組， ，

得， 或 ，

∵點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，2）

【解析】（1）直接用待定系數(shù)法求出直線和拋物線解析式；（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐標(biāo)即可求出周長；（3）先求出△ABN的面積，進(jìn)而得出平行四邊形CBPQ的面積，從而求出BD，聯(lián)立方程組求解即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．