Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或l4上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；

（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；

（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；

（4）若點P在C、D兩點外側(cè)運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠3=∠2﹣∠1；證明見解析；（3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2．證明見解析；（4）當(dāng)P在C點上方時，∠3=∠1﹣∠2，當(dāng)P在D點下方時，∠3=∠2﹣∠1．

【解析】

此題四個小題的解題思路是一致的，過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系，來得出∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）證明：過P作PQ∥l1∥l2，

由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；

∵∠3=∠QPE+∠QPF，

∴∠3=∠1+∠2．

（2）∠3=∠2﹣∠1；

證明：過P作直線PQ∥l1∥l2，

則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；

∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，

∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

證明：過P作PQ∥l1∥l2；

同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；

∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，

∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，

即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

（4）過P作PQ∥l1∥l2；

①當(dāng)P在C點上方時，

同（2）可證：∠3=∠DFP﹣∠CEP；

∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，

∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，

即∠3=∠1﹣∠2．

②當(dāng)P在D點下方時，

∠3=∠2﹣∠1，解法同上．

綜上可知：當(dāng)P在C點上方時，∠3=∠1﹣∠2，當(dāng)P在D點下方時，∠3=∠2﹣∠1．