Question

在△ABC中，∠A=30°，AB=m，CD是邊AB上的中線，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△ECD，若△ECD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，則△ABC的面積為

 

（用m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：畫(huà)出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．

解答：解：分為兩種情況：①如圖1，

∵AD=BD=

1

2

AB，
∴S_△ACD=S_△BCD．
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

m，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四邊形A′DCB是平行四邊形，
∴BC=A′D=m，
過(guò)B作BM⊥AC于M，
∵AB=m，∠BAC=30°，
∴BM=

1

2

AB=

1

2

m=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=

m2-( m 2 )2

=

3

2

m，
∴△ABC的面積是

1

2

×BC×AC=

1

2

×

1

2

m×

3

2

m=

3

8

m2；
②如圖2，

∵AD=BD=

1

2

AB，
∴S_△ACD=S_△BCD．
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

m，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴CO=OA′，BO=DO，
∴四邊形A′BDC是平行四邊形，
∴A′D=BC=

m

2

，
過(guò)C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=

m

2

，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=

1

2

A′C=

m

4

，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×

1

2

×A′D×CQ=2×

1

2

×

m

2

×

m

4

=

m2

8

；
即△ABC的面積是

m2

8

或

3

8

m2，
故答案為：

m2

8

或

3

8

m2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊問(wèn)題，折疊得到的圖形是全等圖形，利用平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，解這個(gè)題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理．