Question

6．如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（3，-16）．
（1）求此函數(shù)的關系式；
（2）作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線PE大于二次函數(shù)y=x²+bx+c的值，x的取值范圍；
（4）F為拋物線上的一個動點，記△ABF的面積為S，當S=16，求出相應的F點的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用菱形的性質得出直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M，進而求出直線PE的解析式，再利用聯(lián)立方程組求出答案；
（3）利用（2）中所求結合函數(shù)圖象得出答案；
（4）利用已知得出F點縱坐標，進而求出F點坐標．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點為C（3，-16），
∴二次函數(shù)解析式為：y=（x-3）²-16=x²-6x-7；

（2）如圖1，設直線PE對應的函數(shù)關系式為：y=kx+b，由題意可得，四邊形ACBD是菱形，
過直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M，
將P（0，-7），M（3，0），代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{3k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
故直線PE的解析式為：y=$\frac{7}{3}$x-7，
從而聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{3}x-7}\\{y={x}^{2}-6x-7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=\frac{112}{9}}\end{array}\right.$，
根據(jù)題意可得：點E（$\frac{25}{3}$，$\frac{112}{9}$）；

（3）觀察圖象得：0＜x＜$\frac{25}{3}$時直線PE大于二次函數(shù)y=x²+bx+c的值；

（4）如圖2，假設存在這樣的點F，可設F（x，y），過點F作FG⊥x軸，垂足為點G，根據(jù)題意AB=8，
故S=$\frac{1}{2}$×|y|×8=16，
解得：y=±4，
當y=4時，x²-6x-7=4，
解得：x=3±2$\sqrt{5}$，
當y=-4時，x²-6x-7=-4，
解得：x=3±2$\sqrt{3}$；
∴F₁（3+2$\sqrt{5}$，4），F(xiàn)₂（3-2$\sqrt{5}$，4），F(xiàn)₃（3+2$\sqrt{3}$，-4），F(xiàn)₄（3-2$\sqrt{3}$，-4）．

點評 此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點求法和一元二次方程的解法等知識，注意數(shù)形結合的應用，根據(jù)題意得出F點縱坐標是解題關鍵．