Question

如圖，O是□ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，線段OB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤360），B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P點(diǎn)，DE⊥PA于E點(diǎn)．
（1）填空：如圖1，∠EPD=

 

°，

PB

AE

=

 

；
（2）如圖2，若F為PB的中點(diǎn)，連接CF、CE，求∠ECF的度數(shù)；
（3）若AB=2，當(dāng)線段OB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，則線段CE長(zhǎng)度的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,四點(diǎn)共圓,線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短,勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，易證P、B、D、A四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠APD=∠ABD=45°，∠BPD=∠BAD=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠EAD=∠PBD，進(jìn)而可證到△PBD∽△EAD，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出

PB

AE

的值．
（2）連接OF，如圖2，根據(jù)三角形中位線定理可得OF∥DP，OF=

1

2

PD．進(jìn)而可證到

ED

OF

=

2

=

DC

OC

，∠FOC=∠EDC，從而有△EDC∽△FOC，則有∠DCE=∠OCF，就可得到∠ECF的度數(shù)．
（3）取AD的中點(diǎn)Q，連接EQ，如圖3，易證點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)Q為圓心，QA為半徑的圓，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求出線段CE長(zhǎng)度的最大值．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠ADB=45°，BD=

2

AD．
∵OP=OB，
∴OP=OB=OA=OD
∴P、B、D、A四點(diǎn)共圓，
∴∠APD=∠ABD=45°，∠BPD=∠BAD=90°，∠EAD=∠PBD．
∵DE⊥PA即∠AED=90°，
∴∠BPD=∠AED=90°，
∵∠EAD=∠PBD，∠BPD=∠AED，
∴△PBD∽△EAD，
∴

PB

EA

=

BD

AD

=

2

．
故答案分別為：45、

2

．

（2）連接OP，如圖2．
∵OB=OD，F(xiàn)B=FP，
∴OF∥DP，OF=

1

2

PD．
∴∠PDB=∠FOB．
∵△PBD∽△EAD，
∴∠PDB=∠EDA，
∴∠FOB=∠EDA．
在Rt△PED中，
sin∠EPD=

ED

PD

=sin45°=

2

2

，
∴PD=

2

ED，
∴2OF=

2

ED，
∴ED=

2

OF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOC=∠ADC=90°，∠DCA=45°，DC=

2

OC．
∴

ED

OF

=

2

=

DC

OC

，∠EDC=∠FOC．
∴△EDC∽△FOC，
∴∠DCE=∠OCF，
∴∠DCA=∠ECF=45°．
∴∠ECF的度數(shù)為45°．

（3）取AD的中點(diǎn)Q，連接EQ、QC，如圖3．
∵∠AED=90°，點(diǎn)Q為AD的中點(diǎn)，
∴EQ=AQ=DQ，
∴點(diǎn)E在以點(diǎn)Q為圓心，QA為半徑的圓上，
∴QE=QD=

1

2

AD=1．
在Rt△QDC中，
QC=

QD2+DC2

=

12+22

=

5

，
∴EC≤QC+QE=

5

+1，
∴當(dāng)E、Q、C三點(diǎn)共線時(shí)，EC取到最大值，最大值為

5

+1．
故答案為：

5

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、三角形的中位線定理、勾股定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．證明P、B、D、A四點(diǎn)共圓是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證明△EDC∽△FOC是解決第（2）小題的關(guān)鍵，確點(diǎn)E的路徑并運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．