Question

（2013•翔安區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3）、B（6，3），連結AB．如果點P在直線y=x+1上，且點P到直線AB的距離大于或等于1，那么稱點P是線段AB的“疏遠點”．
（1）判斷點C（

5

2

，

7

2

）是否是線段AB的“疏遠點”，并說明理由；
（2）若點Q（m，n）是線段AB的“疏遠點”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標得出AB∥x軸，求出點C到直線AB的距離小于1，根據(jù)點P是線段AB的“疏遠點”的定義可知，點P雖然在直線y=x+1上，但是點P到直線AB的距離不是大于或等于1，所以點P不是線段AB的“疏遠點”；
（2）根據(jù)點Q（m，n）是線段AB的“疏遠點”，可知點Q（m，n）同時滿足兩個條件：①在直線y=x+1上，②到直線AB的距離大于或等于1．先由點Q（m，n）在直線y=x+1上，得到n=m+1．再分兩種情況進行討論：①點Q在直線AB或其上方，即n=m+1≥3，根據(jù)點Q到直線AB的距離大于或等于1列出不等式m+1-3≥1，解此不等式求出m≥3；②點Q在直線AB下方，即n=m+1＜3，根據(jù)點Q到直線AB的距離大于或等于1列出不等式3-m-1≥1，解此不等式求出m≤1．

解答：解：（1）點C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠點”．理由如下：
∵

5

2

+1=

7

2

，
∴點C（

5

2

，

7

2

）在直線y=x+1上；
∵點A的縱坐標與點B的縱坐標相同，
∴AB∥軸，
∴點C（

5

2

，

7

2

）到線段AB的距離是

7

2

-3=

1

2

＜1，
∴點C（

5

2

，

7

2

）不是線段AB的“疏遠點”；

（2）∵點Q（m，n）是線段AB的“疏遠點”，
∴點Q（m，n）在直線y=x+1上，
∴n=m+1．
①當n=m+1≥3，即m≥2時，
∵AB∥軸，∴點Q（m，n）到線段AB的距離是n-3，
∴m+1-3≥1，解得m≥3；
②當n=m+1＜3，即m＜2時，
∵AB∥軸，∴點Q（m，n）到線段AB的距離是3-n，
∴3-m-1≥1，解得m≤1，
綜上所述，m≥3或m≤1．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，點到直線的距離，解一元一次不等式，學生的閱讀理解能力和知識的遷移能力，難度適中．正確理解“疏遠點”的定義是解題的關鍵．