Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx²-（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點．
（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當-3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用根的判別式，結(jié)合完全平方公式求出△的符號進而得出答案；
（2）首先求出B，A點坐標，進而求出直線AB的解析式，再利用平移規(guī)律得出答案；
（3）根據(jù)當-3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，當p=0時，q=1；當p=-3時，q=12m+4；結(jié)合圖象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范圍．

解答：解：（1）令mx²-（m+n）x+n=0，則
△=（m+n）²-4mn=（m-n）²，
∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點，
∴A（0，n），且n＞0，
又∵m＜0，
∴m-n＜0，
∴△=（m-n）²＞0，
∴該二次函數(shù)的圖象與軸必有兩個交點；

（2）令mx²-（m+n）x+n=0，
解得：x₁=1，x₂=

n

m

，
由（1）得

n

m

＜0，故B的坐標為（1，0），
又因為∠ABO=45°，
所以A（0，1），即n=1，
則可求得直線AB的解析式為：y=-x+1．
再向下平移2個單位可得到直線l：y=-x-1；

（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為：y=mx²-（m+1）x+1．
∵M（p，q） 為二次函數(shù)圖象上的一個動點，
∴q=mp²-（m+1）p+1．
∴點M關(guān)于軸的對稱點M′的坐標為（p，-q）．
∴M′點在二次函數(shù)y=-m²+（m+1）x-1上．
∵當-3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，
當p=0時，q=1；當p=-3時，q=12m+4；     
結(jié)合圖象可知：-（12m+4）≤2，
解得：m≥-

1

2

．
∴m的取值范圍為：-

1

2

≤m＜0．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和一次函數(shù)圖象的平移等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．