Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y=-x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點B，且B點的橫坐標(biāo)為1．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點C為該拋物線的頂點，D為直線AB上一點，點E為該拋物線上一點，且D、E兩點的縱坐標(biāo)都為1，求△CDE的面積．
（3）如圖②，P為直線AB上方的拋物線上一點（點P不與點A、B重合），PM⊥x軸于的M；交線段AB于點F，PN∥AB，交x軸于點N，過點F作FG∥x軸，交PN于點G，設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)G的長為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式及FG長度的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線經(jīng)過A、B點，可以求出A、B點的坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式即可求出a、b的值；
（2）將y=1分別代入直線和拋物線解析式，即可求得D、E點的坐標(biāo)，由三角形的面積即可求出結(jié)果；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得知FG=AN，用含m的代數(shù)式表示出來AN的長度，配方后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=1，則y=-1+4=3，即點B（1，3），
令y=0，則0=-x+4，解得x=4，即點A（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx過點A、B，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{0=16a+4b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-x²+4x．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1，

將y=1代入直線y=-x+4中，得1=-x+4，解得x=3，
即點D坐標(biāo)為（3，1）．
將y=1代入拋物線y=-x²+4x中，得1=-x²+4x，解得x=2±$\sqrt{3}$，
即點E的坐標(biāo)為（2-$\sqrt{3}$，1）或（2+$\sqrt{3}$，1）．
∵拋物線的解析式為y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴點C的坐標(biāo)為（2，4）．
點C到直線DE的距離h=4-1=3，
DE=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，或DE=3-（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$+1．
△CDE的面積=$\frac{1}{2}$h•DE=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$±1）．
故△CDE的面積為$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$或者$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$．
（3）∵PN∥AB，F(xiàn)G∥AN，
∴四邊形ANGF為平行四邊形，
∴FN=AN．
∵PM⊥x軸，且點M（m，0），點P在拋物線y=-x²+4x上，
∴P點坐標(biāo)為（m，-m²+4m）．
∵直線PN∥直線AB，且直線AB解析式為y=-x+4，
∴設(shè)直線PN的解析式為y=-x+c，
∵點P（m，-m²+4m）在直線PN上，
∴有-m²+4m=-m+c，即c=-m²+5m，
∴直線PN的解析式為y=-x-m²+5m．
令y=0，則有0=-x-m²+5m，解得x=-m²+5m，
即點N坐標(biāo)為（-m²+5m，0）．
d=FG=AN=-m²+5m-4．
∵-m²+5m-4=-${（m-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時，PG長度取最大值$\frac{9}{4}$，此時P點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用直線解析式找出A、B點坐標(biāo)；（2）將y=1分別代入直線和拋物線解析式，求出D、E點坐標(biāo)，此處注意E點有2個；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出FG=AN，用含m的代數(shù)式表示出AN，解取極值問題即可．