Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對于下列結(jié)論：①b²-4ac＞0；②a+b+c＜0；③abc＜0；④8a+c＞0；⑤方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用x=1時函數(shù)值為負數(shù)可對②進行判斷；由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a＜0，由拋物線與y軸交點位置得c＜0，于是可對③進行判斷；由于x=-2時，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入計算，則可對④進行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點問題可對⑤進行判斷．

解答：解：∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正確；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵拋物線與y軸交點位于y軸負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以③錯誤；
∵x=-2，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正確；
∵拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（3，0），
即x=-1或3時，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，所以⑤正確．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．