Question

6．如圖，已知點A（4，0）、B（0，2），∠AOB的平分線交AB于C．動點M從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸向點A作勻速運動，同時動點N從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿y軸向點B作勻速運動，點P、Q為點M、N關于直線OC的對稱點，設M運動的時間為t（0＜t＜2）秒．
（1）求C點的坐標，并直接寫出點P、Q的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）運動過程中，
①是否存在某一時刻使得△CPQ為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②設△CPQ與△OAB重疊部分的面積為S，試求S關于t的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)OC是∠AOB的平分線得出OC的解析式為y=x．再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，故可得出C點坐標，用t表示出點M與點N的坐標，再由軸對稱的性質(zhì)可得出P、Q兩點的坐標；
（2）①分CP=PQ，PQ=QC及CP=CQ三種情況進行討論即可；
②當0＜t≤1時，S=S_△POC+S_△OQC-S_△OPQ，當1＜t＜2時，設PQ與AB交于點D，則重疊部分面積為△CDQ的面積，據(jù)此可得出結論．

解答 解：（1）∵OC是∠AOB的平分線，
∴OC的解析式為y=x．
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點A（4，0）、B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
∵動點M從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸向點A作勻速運動，同時動點N從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿y軸向點B作勻速運動，
∴M（2t，0），N（0，t）．
∵點P、Q為點M、N關于直線OC的對稱點，
∴P（0，2t），Q（t，0）；

（2）①當CP=PQ，∠CPQ=90°時，此種情況不存在；
當PQ=QC，∠PQC=90°時，此種情況不存在；
當CP=CQ，∠PCQ=90°時，如圖1，
∵P（0，2t），Q（t，0），C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴2t-$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$-t，解得t=$\frac{8}{9}$；
②如圖1，當0＜t≤1時，
S=S_△POC+S_△OQC-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×2t+$\frac{1}{2}$t×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$t×2t
=-t²+2t；
如圖2所示，當1＜t＜2時，設PQ與AB交于點D，則重疊部分面積為△CDQ的面積．
設直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵P（0，2t），Q（t，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2t\\ kt+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=2t\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=-2x+2t．
∵直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+2t\\ y=-\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}t-\frac{4}{3}\\ y=-\frac{2}{3}t+\frac{8}{3}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{4}{3}$t-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$），
∴S=S_△AQD-S_△AQC
=$\frac{1}{2}$（4-t）•（-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$）-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{4}{3}$
=$\frac{1}{3}$t²-2t+$\frac{8}{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}-{t}^{2}+2t（0＜t≤1）\\ \frac{1}{3}{t}^{2}-2t+\frac{8}{3}（1＜t＜2）\end{array}\right.$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、圖形面積的計算的知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．