Question

如圖，拋物線y=a（x-h）²+k經過點A（0，1），且頂點坐標為B（1，2），它的對稱軸與x軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內的拋物線上求點P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=a（x-h）²+k的頂點坐標是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x-1）²+2，再把A點坐標代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點即為點P，解方程組即可求出P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-h）²+k頂點坐標為B（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵拋物線經過點A（0，1），
∴a（0-1）²+2=1，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2或y=-x²+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
過點O作AC的垂線l，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質知：l是AC的中垂線，
∴l(xiāng)與拋物線的交點即為點P．
如圖，直線l的解析式為y=x，
解方程組

y=x y=-x2+2x+1

，
得

x= 1+ 5 2 y= 1+ 5 2

或

x= 1- 5 2 y= 1- 5 2

，不合題意舍去），
∴點P的坐標為（

1+ 5

2

，

1+ 5

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求直線、拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質，兩函數(shù)圖象交點坐標的求法，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，綜合性較強，難度適中．