Question

如圖，拋物線y=a（x-h）²+k經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=a（x-h）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x-1）²+2，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，解方程組即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-h）²+k頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），
∴a（0-1）²+2=1，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2或y=-x²+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
過點(diǎn)O作AC的垂線l，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)知：l是AC的中垂線，
∴l(xiāng)與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
如圖，直線l的解析式為y=x，
解方程組

y=x y=-x2+2x+1

，
得

x= 1+ 5 2 y= 1+ 5 2

或

x= 1- 5 2 y= 1- 5 2

，不合題意舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1+ 5

2

，

1+ 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求直線、拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．