Question

如圖，A、B、C、D是半徑為10的⊙O上的四點，其中∠CAD=∠ABD°=60°．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）求圓心O到CD的距離OE．

Answer 1

考點：圓周角定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=∠ABD=60°，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ADC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可證明△ACD是等邊三角形；
（2）連接OC，由等邊三角形的性質可知，∠OCE=30°，根據(jù)OC=10利用直角三角形的性質即可得出結論．

解答：（1）證明：在△ACD中，
∵∠CAD=∠ABD=60°，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-60°-60°=60°，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：連接OC，
∵△ACD為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O也為△ACD的內心，
∴CO平分∠ACD，
∴∠OCE=30°，
∴OE=

1

2

OC=5．

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，直角三角形的性質等知識，將各知識點有機結合，旨在考查同學們的綜合應用能力．