Question

如圖：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD為直徑的圓O與AB有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)E、F，與BC交于點(diǎn)G．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：AE=BF；
（3）當(dāng)AE=1時(shí)，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，以點(diǎn)A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，P，C為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，在圖中描出所有滿足條件的點(diǎn)P的位置（不要求計(jì)算）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由．
（4）當(dāng)AE為何值時(shí)，能滿足（3）中條件的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)？

Answer 1

解：（1）連接DG．
∵CD為直徑，
∴DG⊥BC，
在△DGC中，∵BC-AD=1，
∴GC=1，
又∵AB=7，
∴DC==5，
∴⊙O的半徑為；

（2）作OM⊥AB于M，根據(jù)垂徑定理得EM=FM，
又∵AD∥OM∥BC，OD=DC，
∴AM=BM，
∴AM-EM=BM-FM，
即AE=BF；


（3）有三個(gè)點(diǎn)．
設(shè)AD=x，則BC=x+1，根據(jù)勾股定理，
AD²+AE²=DE²，即 x²+1=DE²，
BE²+BC²=CE²，即6²+（x+1）²=CE²，
又CE²+DE²=CD²=50，
即 x²+1+[6²+（x+1）²]=50，
解得 x=2，
即AD=2，BC=3．
第一種情況：∠APD+∠BPC=90．
只有∠DPC=90度時(shí)，∠APD+∠BPC=90，△PAD∽△CBP．
根據(jù)圓的特性，CD為直徑，所以這樣的點(diǎn)都在圓弧上，即點(diǎn)E，F(xiàn)
設(shè)AF=y．則根據(jù)AD²+AF²+BF²+BC²=CD²，
∴4+y²+（7-y）²+9=50，
解得y₁=1，y₂=6
即 AP=1，或者AP=6；
第二種情況：∠APD=∠BPC時(shí)，三角形PAD相似于PBC．
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得：∠APD=∠BPC時(shí)，△APD∽△BPC，則
AP：BP=AD：BC=2：3，
又∵AP+BP=AB=7，
所以AP=7×=．
綜合以上，可以看出，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，AP的長(zhǎng)度分別為 1，6，；

（4）當(dāng)P₃與E（P₁）重合時(shí)，即∠AED=∠BEC=45°，此時(shí)△APD與△BPC都是等腰直角三角形，
由△APD∽△BPC，得AP=AD，BP=BC，
又AP+BP=7，BC-AD=1，
∴AP=3，即AE=3．
故當(dāng)AE=3時(shí)，滿足（3）中條件的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，即點(diǎn)E、點(diǎn)F．
分析：（1）連接DG，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出DG⊥BC，在△DGC中根據(jù)勾股定理求出DC的長(zhǎng)即可；
（2）作OM⊥AB于M，根據(jù)垂徑定理求出EM=FM，根據(jù)梯形的中位線推出AM=BM即可；
（3）有三個(gè)點(diǎn)：①P與E重合時(shí)，∠CED=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠AED=∠ECB，又∠DAB=∠ABC，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明出△AED∽△BCE，即可求出AP；②P與點(diǎn)F重合時(shí)，與①類似能求出AP；③P在線段EF上，由△APD∽△BPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出AP即可．
（4）當(dāng)P₃與E（P₁）重合時(shí)，即∠AED=∠BEC=45°，只有兩解，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出AE=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．