Question

12．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A、E均在⊙0上，且位于直徑BC的兩側(cè)，$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）∠ACB與∠BAD相等嗎？為什么？
（2）小明發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)O是△ABF的垂心，你認(rèn)為小明的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理和等角的余角相等即可證得；
（2）連接AO，并延長(zhǎng)交BE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠ACB=∠OAC，∠ABE=∠ACB，進(jìn)而即可證得∠ABE+∠BAG=90°，證得∠AGB=90°，即可證得點(diǎn)O是△ABF的垂心．

解答 解：（1）相等，
理由；∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD；
（2）連接AO，并延長(zhǎng)交BE于G，如圖，
∵OA=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠OAC+∠BAG=90°，
∴ACB+∠BAG=90°，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=90°，
即AG⊥BF，
∵BD⊥AF，且BD經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，AG經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是△ABF的垂心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等角的余角相等等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．