Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，AD、BC的延長線交于F．
（1）求證：AB=BF；
（2）若AD=4，求BE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得∠ADB=∠FDB=90°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的性質(zhì)，可得AF的長，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠EBC=∠FAC，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答：（1）證明：∵BD⊥AF，
∴∠ADB=∠FDB=90°．
∵BE平分∠ABC交AC于E，
∴∠ABD=∠FBD．
在Rt△ABD和Rt△FBD中，

∠ABD=∠FBD BD=BD ∠ADB=∠FDB

，
∴Rt△ABD≌Rt△FBD（AAS）
∴AB=BF；
（2）∵AB=BF，BD⊥AF，
∴AF=2AD=8，
∵∠ACB=90°，BD⊥AF，
∴∠EBC=90°-∠F，
∠FAC=90°-∠F，
∴∠EBC=∠FAC，
在△BCE和△ACF中，

∠EBC=∠FAC BC=AC ∠BCE=∠ACF=90°

，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE=AF=8．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．