如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm.以AB為直徑作圓O,動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向精英家教網(wǎng)點(diǎn)B以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)求⊙O的半徑長.
(2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式,并求出當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí),四邊形PQCD的面積.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使直線PQ與⊙O相切?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,則四邊形ABED是矩形,AB=ED,所以求出DE,就求出了圓的直徑.
(2)要求四邊形PQCD的面積,只需用t表達(dá)出CQ和PD.當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí),CQ-PD=2CE,即2t-(13-t)=6,即可求出t的值,從而確定四邊形的面積.
(3)先假設(shè)存在,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理得出方程,解方程,若方程有解,則存在,若方程無解,則不存在.
解答:解:(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,
精英家教網(wǎng)
∵AB⊥BC,∴四邊形ADEB為矩形,
∴BE=AD=13,EC=3.
又∵CD=5,
∴DE=
52-32
=4,即AB=4,
∴⊙O的半徑為2cm.

(2)當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),AP=t,CQ=2t
則S四邊形PQCD=y=
1
2
(13-t+2t)×4,即y=2t+26(0≤t≤8)
當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí),過P作PF⊥BC于F(如圖一),
則有QF=CE=3.
∴2t-(13-t)=6,
則t=
19
3

此時(shí)四邊形PQCD面積y=
116
3
(cm2),

(3)存在.
若PQ與圓相切,設(shè)切點(diǎn)為G.(如圖二)
作PH⊥BC于H.
∵A在⊙O上,∠A=90°,
∴AD切⊙O于A,
∵PQ切⊙O于G,
∴由切線長定理得:PG=PA=t.
QG=QB=16-2t,QH=QB-BH=(16-2t)-t=16-3t
PQ=QB+AP=16-t.
在Rt△PQH中,PQ2=PH2+QH2,即(16-t)2=16+(16-3t)2
∴t2-8t+2=0.
解得t1=4+
14
,t2=4-
14

∵0≤t≤8,
∴當(dāng)t=4±
14
時(shí),PQ與圓相切.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題,解題時(shí)要善于將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)題.此題是一個(gè)大綜合題,難度較大,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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11、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,則S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=CD=10.
求:梯形ABCD的周長.

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精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,對(duì)角線BD⊥DC.
(1)求證:△ABD∽△DCB;
(2)若BD=7,AD=5,求BC的長.

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20、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,并且AB=8,AD=3,CD=6,并且∠B+∠C=90°,則梯形面積S梯形ABCD=
38.4

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精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,以CD為直徑的半圓O切AB于點(diǎn)E,這個(gè)梯形的面積為21cm2,周長為20cm,那么半圓O的半徑為( 。
A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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