Question

如圖，BC為半圓O的直徑，CA為切線，AB交半圓O于點E，EF⊥BC于點F，連接EC．則圖中與△CEF相似的三角形共有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由CA為圓的切線，得到CA與BC垂直，又EF垂直于BC，得到EF與AC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由一對直角相等可得出三角形ACE與三角形CEF相似；由BC為圓的直徑，得到∠BEC為直角，而∠EFC為直角，得到一對直角相等，再由一對公共角，得到三角形CEF與三角形BEC相似；同理三角形EFC與三角形ABC相似；三角形BEF與三角形EFC相似，故圖中與三角形DEF相似的三角形共有4個．

解答：解：圖中與△CEF相似的三角形共有4個，分別為△ACE∽△CEF；△CBE∽△CEF；△ABC∽△CEF；△EBF∽△CEF，
理由為：∵CA為圓的切線，
∴CA⊥BC，又EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠CEF=∠ACE，
又BC為圓的直徑，
∴∠BEC=∠CEA=90°，
∴∠EFC=∠CEA=90°，
∴△ACE∽△CEF；
∵∠BEF+∠FEC=90°，∠BEF+∠EBC=90°，
∴∠FEC=∠EBC，
∵∠EFC=∠BFE=90°，
∴△EBF∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠ECF=∠BCE，
∴△CBE∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠EFC=∠BCA=90°，
∴△ABC∽△CEF．
故選D

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定，圓周角定理，平行線的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．