Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，過點C作CD⊥AB于點D，點E是AB邊上一動點(不含端點A，B)，連接CE，過點B作CE的垂線交直線CE于點F，交直線CD于點G.

(1)求證：AE＝CG；

(2)若點E運動到線段BD上時(如圖②)，試猜想AE，CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請寫出你的結(jié)論；

(3)過點A作AH⊥CE，垂足為點H，并交CD的延長線于點M(如圖③)，找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不變；（3）BE＝CM.

【解析】試題（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；

（2）如圖②，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；

（3）如圖③，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCE=∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出結(jié)論；

解：（1）∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBF+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBF

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠A=∠BCD．

在△BCG和△ACE中

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴AE=CG；

（2）不變．AE=CG．

理由：∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBF+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBF

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠A=∠BCD．

在△BCG和△ACE中

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴AE=CG；

（3）BE=CM，

：∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．

∵AH⊥CE，

∴∠AHC=90°，

∴∠HAC+∠ACE=90°，

∴∠BCE=∠HAC．

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠ACD=∠ABC．

在△BCE和△CAM中

，

∴△BCE≌△CAM（ASA），

∴BE=CM．