Question

已知：三點A(a,1)、B(3,1)、C(6,0)，點A在正比例函數(shù)y＝x的圖象上.

(1)求a的值；

(2)點P為x軸上一動點.

①當(dāng)△OAP與△CBP周長的和取得最小值時，求點P的坐標(biāo)；

②當(dāng)∠APB＝20°時，求∠OAP＋∠PBC的度數(shù).

 

Answer 1

 (1)∵點A(a,1)在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，

∴a＝2.

(2)①如圖，作點A關(guān)于x軸對稱點A′，可得A′(2，－1).

連結(jié)A′B交x軸關(guān)于點P.

設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx＋b(k≠0)

，可得此直線的解析式為y＝2x－5.

當(dāng)y＝0時，x＝2.5.

當(dāng)AP＋BP取得最小值時，可得△OAP與△CBP周長的和取得最小值，此時點P的坐標(biāo)為(2.5,0).

②如圖，設(shè)AA′交x軸于點K.連結(jié)OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M.

∵A′K＝AK＝AB＝1，∠OKA′＝∠A′AB＝90°，OK＝AA′＝2，

∴△OKA′≌△A′AB.(4分)

∴OA′＝A′B，∠OA′K＝∠ABA′.

∵在Rt△AA′B中，

∠ABA′＋∠AA′B ＝90°，

∴∠OA′B＝90°.

∴△OA′B為等腰直角三角形.

∴∠BOA′＝∠BOC＋∠A′OC＝45°.

∵BM⊥OC，OM＝MC＝3，∴OB＝BC.    ∴∠BOC＝∠BCO.

∵∠AOC＝∠A′OC，     ∴∠AOC＋∠BCO＝45°.

如圖，當(dāng)∠APB＝20°時，

∠OAP＋∠PBC

＝360°－(∠AOC＋∠BCO)－(∠APO＋∠BPC)

＝360°－45°－(180°－20°)＝155°.