Question

12．如圖，直角坐標系中，點A、B是正半軸上兩個動點，以AB為邊作一正方形ABCD，對角線AC、BD的交點為E，若OE=2，則經(jīng)過E點的雙曲線為y=$\frac{2}{x}$．

Answer 1

分析 作EM⊥OB于M，EN⊥OA于N，由AAS證明△AEN≌△BEM，得出EN=EM，證出四邊形OMEN是正方形，得出OM=EN，△OEM是等腰直角三角形，因此OM=EM=$\sqrt{2}$，得出E的坐標為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），設經(jīng)過E點的雙曲線為y=$\frac{k}{x}$，求出k的值，即可得出結果．

解答 解：作EM⊥OB于M，EN⊥OA于N，如圖所示：
則四邊形OMEN是矩形，∠EMB=∠ENA=90°，
∴∠MEN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AE=BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEN=∠BEM，
在△AEN和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENA=∠EMB}&{\;}\\{∠AEN=∠BEM}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△BEM（AAS），
∴EN=EM，
∴四邊形OMEN是正方形，
∴OM=EN，△OEM是等腰直角三角形，
∴OM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，
∴E（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
設經(jīng)過E點的雙曲線為y=$\frac{k}{x}$，
則k=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴y=$\frac{2}{x}$．
故答案為：y=$\frac{2}{x}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式的求法等知識；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．