Question

11．四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB=AC，在AD上截取AE，使AE=AB，連接BC、BE，AD與BC交于點G．
（1）求證：△BDG∽△ADC；
（2）若∠DAC=60°，求∠DBE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠DBG=∠DAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，等量代換得到∠ADB=∠ADC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB，由外角的性質(zhì)得到∠ABC+∠CBE=∠ADB+∠EBG，等量代換得到∠DBE=∠EBG=$\frac{1}{2}∠DBC$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠DBG=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ADC，
∴△BDG∽△ADC；

（2）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABC+∠CBE=∠ADB+∠EBG，
∵∠ABG=∠ADB，
∴∠DBE=∠EBG=$\frac{1}{2}∠DBC$，
∵∠DBC=∠DAC=60°，
∴∠DBE=30°．

點評 本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．