Question

某市舉行中學(xué)生足球聯(lián)賽，共賽17場（每隊(duì)均需參加17場比賽）記分辦法是場-勝3分，平一場1分，負(fù)一場0分．
（1）在這次足球比賽中，若小虎足球隊(duì)平場與負(fù)場相同，共積16分，求該隊(duì)勝了幾場？
（2）在這次足球比賽中，若小虎隊(duì)總積分仍為16分，且踢平場數(shù)是所負(fù)場數(shù)的整數(shù)倍，試推算小虎足球隊(duì)最少負(fù)了幾場？

Answer 1

分析：（1）設(shè)小虎足球隊(duì)勝了x場，平了y場，負(fù)了y場，依題意列出方程組，求解即可；
（2）依題意建立方程組，解方程組從而用k（整數(shù)）表示負(fù)場數(shù)z=

35

2k+3

，因?yàn)閦為整數(shù)，即2k+3為35的正約分，
∴2k+3=1，5，7，35當(dāng)2k+3=1時(shí)，k不是整數(shù)，舍去，
當(dāng)2k+3=5時(shí)，k=1，z=7；
當(dāng)2k+3=7時(shí)，k=2，z=5；
當(dāng)2k+3=35時(shí)，k=16，z=1．
因此足球隊(duì)最少負(fù)了1場．

解答：解：設(shè)小虎足球隊(duì)勝了x場，平了y場，負(fù)了y場，依題意得

x+2y=17 3x+y=16

，解得

x=3 y=7

即該球隊(duì)勝了3場．
（2）設(shè)小虎足球隊(duì)勝了x場，平了y場，負(fù)了z場，依題意得

x+y+z=17①   3x+y=16  ② y=kz  ③

，
把③代入①②得

x+(k+1)z=11 3x+kz=16

，
解得z=

35

2k+3

（k為整數(shù)）．
又∵z為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=1時(shí)，z=7；
當(dāng)k=2時(shí)，z=5；
當(dāng)k=16時(shí)，z=1．
∴小虎足球隊(duì)最少負(fù)了1場．
答：（1）該隊(duì)勝了3場；
（2）小虎足球隊(duì)最少負(fù)了1場．

點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)小虎足球隊(duì)勝了x場，平了y場，負(fù)了y場，依題意列出方程組即可；
（2）根據(jù)（1）中所設(shè)的未知數(shù)列出方程組，用k表示出z的值，根據(jù)z為整數(shù)，即可分類討論出z的值．
解答（2）的方程組是個(gè)難點(diǎn)，用了換元法．