Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形O′A′B′C′，此時直線OA′、直線′B′C′分別與直線BC相交于P、Q．在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，若BP=BQ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

Answer 1

P₁（-9-，6），P₂（-，6），
分析：構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得PC的長，進(jìn)一步求得坐標(biāo)．
解答：過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=PQ•OC，S_△POQ=OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，∵BP=BQ，
∴BQ=2x，
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得 ，（不符實(shí)際，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+，
∴P₁（-9-，6）．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
∴PC=BC-BP=，
∴P₂（-，6），
綜上可知，點(diǎn)P₁（-9-，6），P₂（-，6），使BP=BQ．
故答案為：P₁（-9-，6），P₂（-，6）．
點(diǎn)評：此題考查了坐標(biāo)與圖形的變化---旋轉(zhuǎn)，特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．