Question

4．如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長AO交⊙O于E，連接CD，CE，已知CE是⊙O的切線．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=6，AB=10，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接DE，交OC于F，由圓周角定理得出AD⊥DE，由平行四邊形的性質(zhì)得出OF⊥DE，由垂徑定理得出DF=EF=$\frac{1}{2}$DE，由勾股定理求出CD，由三角形的面積求出DF的長，即可得出AD的長．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OEC=90°，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}&{\;}\\{∠EOC=∠DOC}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接DE，交OC于F，如圖2所示：
∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OC=AB=10，OA=BC=6，AB∥OC，
∴OF⊥DE，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△CDO中，OC=10，OD=OA=6，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由三角形的面積公式得：$\frac{1}{2}$×CD×OD=$\frac{1}{2}$×OC×DF，
∴DF=$\frac{CD•OD}{OC}$=$\frac{24}{5}$，
∴DE=2DF=$\frac{48}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{36}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，三角形的面積的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．