Question

【題目】如圖O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，A(4，4)，B點(diǎn)在第二象限，AB＝5，AB與y軸交于點(diǎn)F，對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)E

(1)直接寫(xiě)出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線段C﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示△EDP的面積；

(3)在(2)的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使△APE沿其一邊翻折構(gòu)成的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)t為多少秒時(shí)存在符合條件的點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)B(-1，4)，C(-4，0)；見(jiàn)解析；(3)或7.5.

【解析】

（1）過(guò)A作AG⊥x軸于G，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可得AF、AG的長(zhǎng)，即可求出BF的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出DG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得OD的長(zhǎng)，即可求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)B點(diǎn)在第二象限即可得出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，可得OE=OF，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠FAE=∠DAE，利用AAS可證明△AEF≌△AEH，可得EH=EF，分別討論點(diǎn)P在CD、DA邊時(shí)，利用三角形面積公式表示出△EDP的面積即可；（3）分別討論沿PA、PE、AE翻折時(shí)，點(diǎn)P的位置，畫(huà)出圖形即可得答案.

（1）如圖，過(guò)A作AG⊥x軸于G，

∵A（4，4），四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=CD=5，AG=OG=4，AG=4，

∴BF=AB-AF=1，DG==3，

∴OD=OG-DG=1，

∴OC=CD-OD=4，

∵點(diǎn)B在第二象限，

∴B（-1，4），C（-4，0）

（2）如圖，連接DE，過(guò)E作EH⊥AD于H，

設(shè)AC解析式為y=kx+b，

∵A（4，4），C（-4，0），

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=x+2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴E（0，2），

∴EF=OE=2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FAE=∠DAE，

又∵AE=AE，∠AFE=∠AHE=90°，

∴△AEF≌△AEH，

∴EH=EF=2，

∵t=5時(shí)，D與P重合，不構(gòu)成三角形，

∴t≠5，

∴當(dāng)點(diǎn)P在CD邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t<5時(shí)，S△EDP=DP1×OE=（5-t）×2=5-t，

當(dāng)點(diǎn)P在DA邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即5<t≤10時(shí)，S△EDP=DP2×EH=（t-5）×2=t-5.

(3)當(dāng)沿AP邊翻折時(shí)，AE=CE，則P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

∴APE三點(diǎn)在一條直線上，故不符合題意.

如圖，當(dāng)沿PE翻折時(shí)，AE=AP，

∵AF=4，EF=2，

∴AE==，

∴AP=，

∴t=10-,

如圖，當(dāng)沿AE翻折時(shí)，設(shè)PA=AP′=EP′=x，

∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在AD上，

∴點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P′在AB邊上，

∴在Rt△EFP′中，x2=22+(4-x)2，

解得：x=2.5，

∴t=10-2.5=7.5.

綜上所述：當(dāng)t為10-秒或7.5秒時(shí)存在符合條件的點(diǎn)P.