在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線, DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出MD,DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長線于點(diǎn)G,且MB=MG.試探究ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系,并說明理由.
(1)證明:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴,,∵BD平分∠ABC,∴,∴,∵DE⊥AB于點(diǎn)E,∴,∴,∴△BCE是等邊三角形
(2)AD = DG+DM
(3)AD = DG-DN
【解析】
試題分析:(1)要證明△BCE是等邊三角形,首先要知道BC和BE相等,由于已給出,所以要證明,只需證明,利用題目中給出的數(shù)據(jù),可以很容易求出。(2)由于,且,所以△MGB是等邊三角形,做GF交DB于點(diǎn)F,所以△DFG為等邊三角形,所以,又,,所以△MDG≌△BFG,所以,又,,而,所以
(3)延長BD至H,使得,由(1)得,,∵DE⊥AB于點(diǎn)E,∴,∴,∴△NDH是等邊三角形,∴,,∴,∵,∴,即,在△DNG和△HNB中,,,,∴△DNG≌△HNB,∴DG=HB,∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG= ND+AD,∴AD = DG-ND
考點(diǎn):其中一個(gè)銳角為30度的直角三角形的特殊性
點(diǎn)評(píng):本題較為復(fù)雜,第一問通過直角三角形的特殊性,可以較容易解出來
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