Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH＝.  

（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；

（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F，若 ＝時，求點P的坐標；

（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動點，直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG 與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

解：（1）∵ M為拋物線的頂點，

∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且拋物線與x軸有交點，∴c＞0，∴MH＝c．

∵sin∠MOH＝，∴．∴OM＝，∵，∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．∴拋物線的函數(shù)表達式為：．-----------4分

（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．

∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．----------2分

∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．

∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．

 如圖2，同理可得，P（0，﹣2）．-------------------------------------------2分

（3）∵A（-1，0），∴D（1，0）．

∵M（2，4），D（1，0），∴MD：．∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN＝，ON＝，N（0，）．

如圖3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：．--------2分

 如圖4，若△ANG ∽ △ADM，可得，．

∴AG＝，∴G（，0），∴QG：；

綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：或．---2分