Question

已知，如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （x₁，0），B （x₂，0），C （0，-2），其頂點(diǎn)為D．以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），過(guò)點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N （-6，0），
|x₁-x₂|=8．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)D重合），使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)G為⊙M在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)、連結(jié)AG的直線l與（1）中的拋物線交于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，n），求AG•AH關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)m=8時(shí)，線段GH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求拋物線解析式需已知3點(diǎn)，現(xiàn)僅知C點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)雖不明確，但由|x₁-x₂|=8，可得AB=8．因?yàn)镋為切點(diǎn)，則連接圓心與切點(diǎn)是對(duì)切線題目的常規(guī)做法，易得三角形相似性質(zhì)，設(shè)MO=x，EO=y易得關(guān)于x，y的方程組，解得即有A、B坐標(biāo)，則拋物線及頂點(diǎn)坐標(biāo)易得．
（2）由已確定△ABP與△ADB，即已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么∠BAP=∠DAB，由此畫(huà)圖僅得一點(diǎn)P．若此時(shí)的△ABP與△ADB相似，那么AB與BP的關(guān)系必同AD與DB關(guān)系一致，因?yàn)锳D=BD，所以僅需判斷BP是否等于AB即知．
（3）有題干中的AG•AH，不難想到切割線定理，即GH•AH=過(guò)點(diǎn)H的切線長(zhǎng)的平方，而AH•AG=AH•（AH-GH）=AH²-GH•AH，其中A點(diǎn)固定，H點(diǎn)已知，AH²易求．而切線一般都利用切點(diǎn)與圓心的切線，則易發(fā)現(xiàn)恰好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理易轉(zhuǎn)化“過(guò)點(diǎn)H的切線長(zhǎng)的平方”，進(jìn)而可表示函數(shù)關(guān)系．求得關(guān)系由m=8，代入即可，不難推得GH．

解答：解：
（1）

如圖1，連接ME，記OM=x，EO=y，
∵N （-6，0），|x₁-x₂|=8，
∴NO=6，AB=8，
∴EM=AM=MB=4．
∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，
∴△NEO∽△EM0，
∴

NO

OE

=

EO

OM

，
∴

6

y

=

y

x

，即y²=6x，
在Rt△EOM中，
∵EO²+OM²=EM²，
∴y²+x²=4²=16，
∴x²+6x-16=0，
∴x=2，或x=-8（負(fù)值舍去），
∴OM=2，
∴A（-2，0），B（6，0）．
代入A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，解得拋物線為y=

1

6

x²-

2

3

x-2，
∴頂點(diǎn)D（2，-

8

3

）．

（2）

如圖2，連接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交拋物線于P，
顯然Q與D關(guān)于x軸對(duì)稱，即Q（2，

8

3

），
設(shè)過(guò)A（-2，0），Q（2，

8

3

）的直線為y=kx+b，
代入坐標(biāo)，解得直線AQ：y=

2

3

x+

4

3

，
設(shè)P（x，y），則滿足

y= 1 6 x2- 2 3 x-2 y= 2 3 x+ 4 3

，
解得

x=-2 y=0

（與A重合舍去），或

x=10 y=8

，
∴P（10，8）．
∵B（6，0），
∴PB²=（x_P-x_B）²+（y_P-y_B）²=16+64=80，
∴PB=4

5

，
∵AB=8，
∴AB≠PB，
∵AD=BD，
∴不存在P點(diǎn)使得△ABP與△ADB相似．

（3）

如圖3，過(guò)點(diǎn)H作⊙M的切線HI，切點(diǎn)為I，連接MI，HM，
由切割線定理易得GH•AH=HI²，
∵M(jìn)（2，0），H（m，

1

6

m²-

2

3

m-2），
∴MH²=（x_H-x_M）²+（y_H-y_M）²=（m-2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²，
在Rt△MHI中，
∵M(jìn)I=4，
∴HI²=MH²-MI²=（m-2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²-16，
∴GH•AH=（m-2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²-16，
∵A（-2，0），
∴AH²=（x_H-x_A）²+（y_H-y_A）²=（m+2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²，
∴AH•AG=AH•（AH-GH）=AH²-GH•AH=（m+2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²-[（m-2）²+（

1

6

m²-

2

3

m-2）²-16]=8m+16，
當(dāng)m=8時(shí)，AG•AH=8•8+16=80．
∵m=8，
∴H（8，

10

3

），
∴AH²=（x_H-x_A）²+（y_H-y_A）²=（8+2）²+（

10

3

-0）²=

1000

9

，
∴AH=

10 10

3

，
∴AG=

12 10

5

，
∴GH=AH-AG=

14 10

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合難度較高，計(jì)算量也較大，主要考查了三角形相似、拋物線性質(zhì)、利用勾股定理求坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離及圓與切割線定理等知識(shí)，但處理各問(wèn)的方式屬于都屬于常規(guī)考法，值得學(xué)生練習(xí)、鞏固，綜上來(lái)說(shuō)這是一道質(zhì)量很高的題目．