二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖,下列結(jié)論:
①abc>0;②2a+b=0;③當m≠1時,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2.
其中正確的有( 。
A、①②③B、②④
C、②⑤D、②③⑤
考點:二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
專題:數(shù)形結(jié)合
分析:根據(jù)拋物線開口方向得a<0,由拋物線對稱軸為直線x=-
b
2a
=1,得到b=-2a>0,即2a+b=0,由拋物線與y軸的交點位置得到c>0,所以abc<0;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當x=1時,函數(shù)有最大值a+b+c,則當m≠1時,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm;根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在(-1,0)的右側(cè),則當x=-1時,y<0,所以a-b+c<0;把ax12+bx1=ax22+bx2先移項,再分解因式得到(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,則a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=-
b
a
,然后把b=-2a代入計算得到x1+x2=2.
解答:解:∵拋物線開口向下,
∴a<0,
∵拋物線對稱軸為性質(zhì)x=-
b
2a
=1,
∴b=-2a>0,即2a+b=0,所以②正確;
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①錯誤;
∵拋物線對稱軸為性質(zhì)x=1,
∴函數(shù)的最大值為a+b+c,
∴當m≠1時,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③正確;
∵拋物線與x軸的一個交點在(3,0)的左側(cè),而對稱軸為性質(zhì)x=1,
∴拋物線與x軸的另一個交點在(-1,0)的右側(cè)
∴當x=-1時,y<0,
∴a-b+c<0,所以④錯誤;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0,
∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=-
b
a

∵b=-2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正確.
故選:D.
點評:本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大。寒攁>0時,拋物線開口向上;當a<0時,拋物線開口向下;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置,當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左側(cè);當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右側(cè);常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c);拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定,△=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.
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6
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