Question

如圖，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．點(diǎn)E是線段BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩端點(diǎn)），連結(jié)AE，作∠AED=∠B，交線段AB于點(diǎn)D．
（1）求證：△BDE∽△CEA；
（2）設(shè)BE=x，AD=y，請(qǐng)寫y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值．
（3）E點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ADE能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠BDE=∠CEA，∠B=∠C證得結(jié)論；
（2）利用（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式

BD

EC

=

BE

AC

，則把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可列出y與x的關(guān)系式．注意自變量x的取值范圍要注明；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的邊角關(guān)系知AE≠AD．所以當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)AE=DE時(shí)，△BDE≌△CEA；②當(dāng)DA=DE時(shí)，△BAE∽△BCA．所以根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段BE的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴

BD

EC

=

BE

AC

，
即

6-y

8-x

=

x

6

，
∴y=

1

6

x2-

4

3

x+6=

1

6

(x-4)2+

10

3

（0＜x＜8），
∴當(dāng)x=4，y有最小值是

10

3

；

（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①當(dāng)AE=DE時(shí)，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=6cm；
②當(dāng)DA=DE時(shí)，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴

BA

BC

=

BE

BA

，
即：

6

8

=

BE

6

，
∴BE=

36

8

=

9

2

cm，
∴△ADE為等腰三角形時(shí)，BE=6cm或

9

2

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．