如圖1,已知拋物線C1:y=a(x-1)2+4與直線C2:y=x+b相交于點(diǎn)A(3,精英家教網(wǎng)0)和點(diǎn)B.
(1)求a、b的值;
(2)若P(t,y1),Q(2,y2)是拋物線C1上的兩點(diǎn),且y1<y2,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)如圖2,質(zhì)地均勻的正四面體骰子的各個(gè)面上依次標(biāo)有數(shù)字-1、1、3、4.隨機(jī)拋擲這枚骰子兩次,把第一次著地一面的數(shù)字m記做P點(diǎn)的橫坐標(biāo),第二次著地一面的數(shù)字n記做P點(diǎn)的縱坐標(biāo).則點(diǎn)P(m,n) 落在圖1中拋物線C1與直線C2圍成區(qū)域內(nèi)(圖中陰影部分,含邊界)的概率是多少?
分析:(1)把A的坐標(biāo)代入拋物線與直線的解析式即可求得a,b的值;
(2)首先求得y2=3的值,然后拋物線上縱坐標(biāo)是3的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值,根據(jù)拋物線的增減性即可確定;
(3)首先利用列舉法求得所有的情況有幾種,然后根據(jù)函數(shù)的值確定每個(gè)點(diǎn)是否在區(qū)域內(nèi).
解答:解:(1)把A(3,0)代入拋物線的解析式得:4a+4=0,解得:a=-1;
把(3,0)代入直線的解析式得:3+b=0,解得:b=-3;

(2)拋物線的解析式是:y=-(x-1)2+4.
在解析式中,令x=2,解得y2=3.
在拋物線中,令y=3,解得:x=2或1.
則當(dāng)t<1或t>3時(shí),y1<y2

(3)解方程組:
y=-(x-1)2+4
y=x-3
,解得:x=3或-2
則B的橫坐標(biāo)是-2.
當(dāng)點(diǎn)在陰影區(qū)域時(shí),橫坐標(biāo)x滿足:-2≤x≤3
P點(diǎn)的坐標(biāo)用樹形圖表示:
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當(dāng)x=-1時(shí),代入拋物線的解析式得:y=0,代入直線的解析式得:y=-4.
故點(diǎn)(-1,-1)在區(qū)域內(nèi);
當(dāng)x=1時(shí),代入拋物線的解析式得:y=4,代入直線的解析式得:y=-2,則(1,-1)(1,1)(1,3)(1,4)在區(qū)域內(nèi);
當(dāng)x=3時(shí),代入拋物線解析式得:y=0,代入直線解析式得:y=0.
故在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)有:(-1,-1),(1,-1)(1,1)(1,3)(1,4).共5個(gè).
則落在圖1中拋物線C1與直線C2圍成區(qū)域內(nèi)(圖中陰影部分,含邊界)的概率是5÷16=
5
16
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn),以及列舉法求概率,正確確定點(diǎn)是否在區(qū)域內(nèi)是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線y=-x2+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求b,c的值.
(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時(shí),求點(diǎn)E坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=2OA=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當(dāng)⊙P與拋物線的對(duì)稱軸l及x軸均相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
2
個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E作EG∥y軸,交AC于點(diǎn)G(如圖2).若E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.則當(dāng)t為何值時(shí),△EFG的面積是△ABC的面積的
1
3
?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個(gè)頂點(diǎn),若BC=10,梯形OABC的面積為18.
(1)求拋物線解析式;
(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,平移后的兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(3)如圖3,設(shè)圖1中點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,3),M為拋物線的頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng).P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連接PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀.

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