Question

如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD． (1)若AB＝16，CD＝9，BD＝15，請(qǐng)問(wèn)在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2) 若AB＝16，CD＝9，BD＝24，請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長(zhǎng)； (3) 若AB＝m，CD＝n，BD＝，請(qǐng)問(wèn)在m、n、滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個(gè)P點(diǎn)?

Answer 1

解（1）設(shè)BP=x，則DP=15-x

若是△ABP∽△PDC 則 即，方程無(wú)解----------------------2分

若是△ABP∽△CDP 則 即，解之得x=9.6

所以BP=9.6--------------------------------------4分

（2）設(shè)BP=x，則DP=24-x

若是△ABP∽△PDC 則 即，解之得x=12--------------------------6分

若是△ABP∽△CDP 則 即，解之得x=15.36

所以BP=12或15.36     ---------------------------------------------------------------8分

（3）設(shè)BP=x，則DP=，

若是△ABP∽△CDP 則 即，解之得x=----------------------------9分

若是△ABP∽△PDC 則 即，得方程：

當(dāng)時(shí)，存在以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似的3個(gè)點(diǎn)P。-------------------------------------10分