Question

1．如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后，折痕DE分別交AB、AC于點E、G．連接GF，下列結(jié)論：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=$\sqrt{2}+1$；③S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
其中正確結(jié)論的序號是①②③④⑤（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)折疊的性質(zhì)我們能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度數(shù)，那么在三角形AGD中用三角形的內(nèi)角和即可求出∠AGD的度數(shù)；
②設(shè)AE=x，由△BEF是等腰直角三角形，得出BE=$\sqrt{2}$x，得出AD=AB=x+$\sqrt{2}$x=（1+$\sqrt{2}$）x，由tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，即可求得tan∠AED=$\sqrt{2}+1$；
③設(shè)GF=AE=1，由②可知AD=$\sqrt{2}$+1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得OD和OF，由△OGD與△FGD同高，根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)底的比，即可求得即可求得S_△FGD=$\sqrt{2}$SS_△OGD，根據(jù)△FGD≌△AGD，得出S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD；
④根據(jù)同位角相等得到EF∥AC，GF∥AB，由折疊的性質(zhì)得出AE=EF，即可判定四邊形AEFG是菱形；
⑤通過相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例關(guān)系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的關(guān)系，進(jìn)而求出BE和OG的關(guān)系．

解答 解：在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，所以①正確．
設(shè)AE=x，
∵∠ABD=45°，∠EFD=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF=AE=x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AB=x+$\sqrt{2}$x=（1+$\sqrt{2}$）x，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）x}{x}$=1+$\sqrt{2}$，所以②正確．
根據(jù)題意可得：AE=EF，AG=FG，
∵∠BAC=∠CEF=45°，
∴EF∥AC，
∵∠DAC=∠OFG=45°=∠ABD，
∴GF∥AB，
∴四邊形AEFG是菱形，所以④正確．
由∠OFG=45°，AC⊥BD，
∴△GOF是等腰直角三角形，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF，
設(shè)GF=AE=1，由②可知AD=$\sqrt{2}$+1，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$+1）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FD=OF+OD=1+$\sqrt{2}$，
因為△OGD與△FGD同高，
∴$\frac{{S}_{△FGD}}{{S}_{△OGD}}$=$\frac{FD}{OD}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△FGD=$\sqrt{2}$SS_△OGD，
∵△FGD≌△AGD，
∴S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD，所以③正確；
設(shè)BF=EF=AE=FG═AG=1，則OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=1+$\sqrt{2}$，BD=2+$\sqrt{2}$，DF=1+$\sqrt{2}$，
∵四邊形AEFG是菱形，
∴EF∥AG∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{OG}{EF}$=$\frac{DO}{DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$EF=2OG，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．所以⑤正確．
故正確的結(jié)論有①②③④⑤．
故答案為①②③④⑤．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)折疊的性質(zhì)的角和邊相等是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．