Question

【題目】已知直線與x軸和 y 軸分別交與A，B 兩點，另一直線經過點B和點C（6，－5）．

（1）求 A，B 兩點的坐標；

（2）證明：△ABC 是直角三角形；

（3）在 x 軸上找一點 P，使△BCP 是以 BC 為底邊的等腰三角形，求出 P 點坐標．

Answer 1

【答案】(1) A（-4，0），B（0，3）；(2)見解析;(3) P（，0）．

【解析】

（1）由直線解析式求出A與B坐標即可；
（2）由B與C的坐標確定出直線BC的斜率，由已知AB的斜率，得到兩直線斜率乘積為-1，可得AB與BC垂直，即可得證；
（3）作出線段BC的垂直平分線，與x軸交于點P，與直線BC交于點Q，利用中點坐標公式求出Q的坐標，根據PQ與AB都與BC垂直，得到PQ與AB平行，即斜率相等，求出直線PQ解析式，進而求出P坐標．

解：（1）對于直線y=x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-4，
則A（-4，0），B（0，3）；
（2）由B（0，3），C（6，-5），得到直線BC斜率為=-，
∵直線AB斜率為，
∴直線AB與直線BC斜率乘積為-×=-1，
∴AB⊥BC，
則△ABC是直角三角形；
（3）如圖所示，作出BC的垂直平分線PQ，與x軸交于點P，與直線BC交于點Q，連接BP，CP，
則△BCP是以BC為底邊的等腰三角形，
∵PQ⊥BC，AB⊥PQ，
∴PQ∥AB，即直線PQ與直線AB斜率相同，即為，
∵B（0，3），C（6，-5），
∴線段BC中點Q坐標為（3，-1），
∴直線PQ解析式為y+1=（x-3），即y=x-，
令y=0，得到x=，
則點P（，0）．