(2003•常德)如圖,O是坐標(biāo)原點(diǎn),A是X軸上的一點(diǎn),C是Y軸上的一點(diǎn),OB是以A圓心的半圓的直徑,BD∥AC交半圓于D,其BD=2,
(1)當(dāng)A、C的坐標(biāo)分別為(x,0),(0,y)時,請用x的代數(shù)式表示y;
(2)當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)時,求過C、D兩點(diǎn),頂點(diǎn)在直線x=2上的拋物線的解析式;
(3)在所求的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得S△POB=2S△OAD

【答案】分析:(1)可通過構(gòu)建相似三角形來求解,連接OD,那么根據(jù)A,C的坐標(biāo)可得,OB=2x,OC=y,那么通過相似三角形OCA和DOB可得出關(guān)于OD,OA,BD,OB的比例關(guān)系,即可得出用x表示y的代數(shù)式.
(2)當(dāng)A的坐標(biāo)為2時,即x=2,然后代入(1)中各線段的表達(dá)式中,不難得出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),那么根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在x=2上,那么可用頂點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù),然后將C,D的坐標(biāo)代入即可得出拋物線的解析式.
(3)可先求出三角形POB的面積,由于OB的長為定值,因此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值,由于(2)的拋物線與x軸沒有交點(diǎn)且開口向上,因此P的縱坐標(biāo)為正值,然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由A(x,0),可得:B(2x,0);
所以,OA=x,OB=2x,BD=2.
連接OD,則有:OD⊥BD;由勾股定理可得:OD=2
因為,BD∥AC,
所以,∠OAC=∠DBO;
而且,∠AOC=90°=∠BDO,可得:△OAC∽△DBO;
所以,=,
可求得:OC=x
由C(0,y),可得:y=x

(2)由A(2,0),利用(1)中求得的各線段表達(dá)式,
容易求得:C(0,2),D(3,).
設(shè)所求的頂點(diǎn)在直線x=2上的拋物線的解析式為y=a(x-2)2+b;
拋物線過C、D兩點(diǎn),將C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,
可求得:a=,b=
代入拋物線的解析式,
可得:y=x2-x+2

(3)設(shè)使得S△POB=2S△OAD的點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),
則有:S△POB=2n,2S△OAD=2;
所以,2n=2,
解得:n=
點(diǎn)P在拋物線上,得:n=m2-m+2,
將n=代入,
可求得:m=1或m=3.
所以,存在這樣的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(1,)或(3,).
點(diǎn)評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,通過構(gòu)建相似三角形得出x,y的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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