Question

如圖，△ABC的邊AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示以AB、AC、BC為邊的正方形，求圖中三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值是多少？

Answer 1

解：把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置，
∵四邊形ACHM為正方形，∠ACH=90°，CA=CH=CH′，
∴A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，
∴S_△CHF=S_△BCH'=S_△ABC，
同理：S_△BDG=S_△AEM=S_△ABC，
所以陰影部分面積之和為S_△ABC的3倍，
又AB=3，AC=2，
∴S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×AB×AC×sin∠BAC，
當(dāng)∠BAC最大時(shí)陰影部分面積之和最大，
即當(dāng)AB⊥AC時(shí)，S_△ABC最大值為：
∴陰影部分面積的最大值為3×3=9（平方單位）．
分析：把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)有A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，得到S_△CHF=S_△BCH'=S_△ABC，同理：S_△BDG=S_△AEM=S_△ABC，所以S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×AB×AC×sin∠BAC，即當(dāng)AB⊥AC時(shí)，S_△ABC最大值為：，即可得到三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形的面積公式．