Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B 向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)， HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．

（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？

 

Answer 1

（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．

（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，最大值．

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，最大值．

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

y的最大值是．

（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，=，； 

若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，； 

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．  

∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形.