Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0）
（1）求證：無(wú)論a為任何非零實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)a取何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意求出△的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系即可得出答案；
（2）先利用因式分解法求出方程的兩根為x₁=-2，x₂=-$\frac{a+1}{a}$，再根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)，得出$\frac{a+1}{a}$必須為正整數(shù)，那么整數(shù)a=1．

解答 （1）證明：∵△=（3a+1）²-4a•2（a+1）=a²-2a+1=（a-1）²≥0，
∴無(wú)論a為任何非零實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0），
∴（x+2）[ax+a+1]=0，
∴x+2=0，或ax+a+1=0，
解得x₁=-2，x₂=-$\frac{a+1}{a}$．
要使兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為負(fù)整數(shù)，則$\frac{a+1}{a}$必須為正整數(shù)，
∴整數(shù)a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．