Question

如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，點(diǎn)Q在線段BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段BA上從B向A運(yùn)動(dòng)．Q、P兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．作PM⊥PQ交CA于點(diǎn)M，過點(diǎn)P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F．
（1）求證：△PQE∽△PMF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；
（3）設(shè)BP=x，△PEM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，并將這個(gè)值求出來．

Answer 1

（1）證明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；

（2）解：相等．
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；

（3）解：AB===20，BP=x，則AP=20-x，
PE=xcos30°=x，PF=（20-x）•，
S_△PEM=PE×PF，
∴y=•x•
=（20x-x²）
=-（x-10）²+（0≤x≤10）．
∴當(dāng)x=10時(shí)，函數(shù)的最大值為．
分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余關(guān)系證明△PQE∽△PMF；
（2）相等．運(yùn)動(dòng)速度相等，時(shí)間相同，則BP=BQ，∠B=60°，△BPQ為等邊三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角對(duì)等邊；
（3）由面積公式得S_△PEM=PE×PF，解直角三角形分別表示PE，PF，列出函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量關(guān)系．