Question

2．如圖，在鈍角△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求證：
（1）△EMD≌△DNF；
（2）△EMD∽△EAF；
（3）DE⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)D是BC中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)N，可得DN是△ABC的中位線，判斷出DN=$\frac{1}{2}$AC；然后判斷出EM=$\frac{1}{2}$AB，再通過(guò)證明四邊形AMDN是平行四邊形，可得∠AMD=∠AND，進(jìn)而可證明∠EMD=∠DNF，由全等三角形的判定方法即可證明△EMD≌△DNF；
（2）首先計(jì)算出EM：EA的值，DM和AF的數(shù)量關(guān)系以及證明∠EMD=∠EAF，再根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△EMD∽△∠EAF；
（3）由（2）可知△EMD∽△EAF，即可判斷出∠MED=∠AEF，然后根據(jù)∠MED+∠AED=45°，判斷出∠DEF=45°，再根據(jù)DE=DF，判斷出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判斷出DE⊥DF．

解答 解：（1）∵D是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)，
∴DM、DN都是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
DN∥AB，且DN=$\frac{1}{2}$AB；
∵△ABE是等腰直角三角形，M是AB的中點(diǎn)，
∴EM平分∠AEB，EM=$\frac{1}{2}$AB，
∴EM=DN，
同理：DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF；
（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，M是AB的中點(diǎn)，
∴EM平分∠AEB，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∴$\frac{EM}{EA}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵D是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵△ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點(diǎn)，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC，
=360°-45°-45°-（180°-∠AMD）
=90°+∠AMD，
∴∠EMD=∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{EM}{EA}=\frac{DM}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\∠EMD=∠EAF\end{array}$
∴△EMD∽△∠EAF；
（3）∵△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED=∠AEF，
∵∠MED+∠AED=45°，
∴∠AED+∠AEF=45°，
即∠DEF=45°，
又∵△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，
∴DE⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握；此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑；此題還考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．