Question

如圖1，點(diǎn)A、B、C、D為拋物線y=-2x²+bx+c上的點(diǎn)，其中A為頂點(diǎn)，ABCD為正方形，過C作EF∥BD，
（1）當(dāng)EF與x軸重合，且E為坐標(biāo)原點(diǎn)，求拋物線解析式及EF的長；
（2）如圖2，若拋物線改為“y=ax²+bx+c且”，其余條件不變，求a值．

Answer 1

解：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)H，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，又∵AB=AD，
∴BD∥x軸，
設(shè)拋物線為y=-2（x-h）²+k，
∴頂點(diǎn)A（h，k），
設(shè)AH=DH=m，
∴D（h+m，k-m），
∵D為拋物線上的點(diǎn)，
∴k-m=-2（h+m-h）²+k，
，m₂=0（不符合題意，舍去），
∴AC=2m=1，即k=1，
∴y=-2（x-h）²+1將（0，0）代入0=-2（0-h）²+1，
，（不符合題意，舍去），
∴，
令y=0，，
∴x₁=0，，
∴；

（2）連接AC、BD交于點(diǎn)H，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，又∵AB=AD，
∴BD∥x軸，
設(shè)拋物線為y=a（x-h）²+k，
∴頂點(diǎn)A（h，k），
設(shè)AH=DH=m，∴D（h+m，k-m），
∵D為拋物線上的點(diǎn)，
∴k-m=a（h+m-h）²+k，
，m₂=0（不符合題意，舍去），
∴即C（h，），
∵EF∥BD，，
根據(jù)拋物線對(duì)稱性，，
∴F（，），
∴，
∴a²=4，
a=±2，
∵開口向下，
∴a的值為-2．
分析：（1）利用正方形的性質(zhì)即可得出AH=DH=AC，進(jìn)而表示出二次函數(shù)的解析式，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出m的值即可得出二次函數(shù)的解析式，求出EF即可；
（2）利用正方形的性質(zhì)即可得出AH=DH=AC，進(jìn)而表示出二次函數(shù)的解析式，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出m的值即可得出二次函數(shù)的解析式，求出EF，即可得出a的值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出坐標(biāo)中m的值是解題關(guān)鍵．