Question

如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線AD于點E，連接BD，CD．
（1）求證：△DBC是等腰三角形；
（2）請判斷∠DBE與∠DEB的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）由AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，根據(jù)垂徑定理得

BD

=

CD

，則BD=CD，于是可判斷△DBC是等腰三角形；
（2）根據(jù)圓周角定理由

BD

=

CD

得∠5=∠3，再由角平分線的定義得∠1=∠2，所以∠2+∠3=∠1+∠5，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠DBE=∠DEB．

解答：（1）證明：∵AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰三角形；
（2）解：∠DBE=∠DEB．理由如下：
∵

BD

=

CD

，
∴∠5=∠3，
∵∠ABC的平分線AD于點E，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5，
而∠2+∠3=∠DBE，∠1+∠5=∠DEB，
∴∠DBE=∠DEB．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定和圓心角、弧、弦的關(guān)系．