Question

正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF．
（1）如圖1，若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG，則EF與FG關(guān)系為：

 

；
（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，請(qǐng)猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE=AF=BF=BG，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△BFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFE=∠BFG=45°，再求出∠EFG=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△FQE和△FPG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QE=FG，BF=BG，再根據(jù)BG+GP=BP等量代換即可得證；
（3）根據(jù)題意作出圖形，然后同（2）的思路求解即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，
∴AE=AF=BF=BG，
在△AEF和△BFG中，

AE=BG ∠A=∠B=90° AF=BF

，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，
∴EF⊥FG，EF=FG；

（2）BF+EQ=BP．
理由：如圖2，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，
則EF⊥FG，EF=FG，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△FQE和△FPG中，

FQ=FP ∠1=∠3 EF=FG

，
∴△FQE≌△FPG（SAS），
∴QE=PG且BF=BG，
∵BG+GP=BP，
∴BF+EQ=BP；

（3）如圖3所示，BF+BP=EQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．