Question

2．在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FP，將FP繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到FK，如果∠B=α（0°＜α＜90°），則$\frac{CK-CP}{cosα•EF}$=2．

Answer 1

分析 連接AF，由直角三角形的性質(zhì)得到BF=CF=AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BAF，于是得到∠AFC=2∠B=2α通過(guò)三角形全等得到AP=CK，求得CK-CP=AC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cosα•EF=$\frac{BF}{BE}$•EF=$\frac{BF•EF}{BE}$，過(guò)F作FD⊥AB于D，推出FD=cosα•EF根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DF=$\frac{1}{2}$AC，即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AF，
∵EF是BC的垂直平分線，∠BAC=90°，
∴BF=CF=AF，
∴∠B=∠BAF，
∴∠AFC=2∠B=2α，
∴∠AFP=∠KFC，
∵FP=CK，
在△AFP與△CFK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FC}\\{∠AFP=∠CFK}\\{FP=FK}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△CFK，
∴AP=CK，
∴CK-CP=AC，
∵EF⊥BC，
∴cosα•EF=$\frac{BF}{BE}$•EF=$\frac{BF•EF}{BE}$，
過(guò)F作FD⊥AB于D，
∴FD=cosα•EF，
∵F是BC的中點(diǎn)，AB⊥AC，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{CK-CP}{cosα•EF}$=$\frac{AC}{\frac{1}{2}AC}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．