Question

【題目】綜合題。
（1）如圖1，已知AD=BC，AC=BD．求證：△ADB≌△BCA．
（2）如圖2，已知AB是⊙O的一條直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使AC=3BC，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若CD= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ADB與△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SSS）

（2）解：連接OD，

∵CD與⊙O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC=90°，

∵AC=3BC，AB=2OB，

∴OB=BC，

∴OB= OC

又OB=OD，

∴OD= OC

在Rt△ODC，

cos∠DOC= = ，

∴∠DOC=60°，

∴∠AOD=120°

在Rt△POC中，

由勾股定理可知：OD2+DC2=OC2，

∵CD= ，

∴OD2+3=4OD2，

∴OD=1

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即求證；（2）連接OD，利用AC=3BC可知OB= OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC= = ，從而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng)度．