Question

已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的切線垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，∠CAB=30°．
（I）如圖①，求∠DAC的大��；
（II）如圖②，若⊙O的直徑為8，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）連接OC，由切線的性質(zhì)可知OC⊥DC因?yàn)锳D⊥DC，所以O(shè)C∥AD，由平行線的性質(zhì)可得：∠DAC=∠CAB=30°；
（Ⅱ）連接OE，OC，首先可證明△AOE是等邊三角形，所以AE=AO=4，根據(jù)DE=AD-AE計(jì)算即可．

解答：解：（Ⅰ）連接OC，
∵DC是圓的切線，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠CAB=30°；
（Ⅱ）連接OE，OC，
∵∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°，OE=OA，
∴△AOE是等邊三角形，
∴AE=AO=

1

2

AB=4，
∵AB=8，∠CAB=30°，
∴AC=8×cos30°=4

3

，
∴AD=AC•cos30°=6，
∴DE=AD-AE=6-4=2．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角的銳角三角形函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．