Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為A（1，0），
另一個交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C（0，-2）．
（1）b=

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

 

，

 

）；（均用含a的代數(shù)式表示）
（2）若a＜2，試證明二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)一定在第三象限；
（3）若a=1，點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個動點(diǎn)（不與C重合），連結(jié)PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S，試求S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,不等式的性質(zhì)

專題：作圖題,證明題

分析：（1）將已知點(diǎn)C，A代入拋物線解析式進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)以及b的值；
（2）根據(jù)題意證明頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，即可證明頂點(diǎn)一定在第三象限；
（3）首先分割四邊形為S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC，根據(jù)三角形面積計算公式即可得出．

解答：（1）解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵圖象與y軸的交點(diǎn)為：C（0，-2），
∴c=-2，
∴b=2-a，
則拋物線解析式為：y=ax²+（2-a）x-2，
y=0時，0=ax²+（2-a）x-2，
解得：x₁=1，x₂=-

2

a

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

2

a

，0），
故答案為：2-a，（-

2

a

，0）；

（2）證明：∵二次函數(shù)圖象過（1，0）點(diǎn)，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2），
∴可（1）得：c=-2，b=2-a，
∴y=ax²+（2-a）x-2=a（x+

2-a

2a

）²-

(a+2)2

4a

，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

2-a

2a

，-

(a+2)2

4a

）
∵0＜a＜2，
∴2a＞0，4a＞0，2-a＞0，（a+2）²＞0，
∴-

2-a

2a

＜0，-

(a+2)2

4a

＜0．
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)一定在第三象限．

（3）解：當(dāng)a=1時，y=x²+x-2，此時點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
當(dāng)0＜x＜1時，0＜S＜S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

1

2

×3×2=3，
∴此時，0＜S＜3．
當(dāng)-2＜x＜0時，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，x²+x-2）
連結(jié)PO，則S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC
∴S=

1

2

×2×（-x²-x+2）+

1

2

×2×（-x）-

1

2

×2×2
=-x²-2x
=-（x+1）²+1，
∵當(dāng)x=-1時，S取最大值1，且滿足-2＜-1＜0，
∴此時，0＜S≤1．
綜上所述，S的取值范圍為0＜S＜3．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及一元二次方程解法和三角形面積求法等知識，正確分割四邊形以及利用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．