Question

如圖，⊙O的直徑EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B四點共線．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直線由右向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（s），當t=0s時，點B與點F重合．
（1）當t為何值時，Rt△ABC的直角邊與⊙O相切？
（2）當Rt△ABC的直角邊與⊙O相切時，請求出重疊部分的面積（精確到0.01）．

Answer 1

解：
（1）∵∠BAC=30°，AB=，
∴BC=
又∵⊙O的直徑EF=，即半徑為，
∠ACB=90°，
∴當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切．（如圖1所示）

此時運動距離為FO=，
∴t=s．
當BC邊與⊙O相切時（如圖2所示），

設(shè)切點為G．連接OG，則OG⊥BC．
由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=，
∴BO=2．
又FO=，
∴BF=．（此步亦可利用相似求解，請參照給分）
∴此時s．
由上所述，當秒時，Rt△ABC的直角邊與⊙O相切．

（2）由圖1，此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形COF．
由已知，∠COF=60°，∴．
由圖2，設(shè)AC與⊙O交于點M，
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM．
過點M作MN⊥OG于N，則MN=GC．
由（1）可知BG=1
則MN=GC=．
∴，
∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．
∴．
又∵OM=，
∴點M到AB的距離h=OM•sin∠MOE≈1.419，
∴S_△AOM=•OA•h≈1.229cm²
此時⊙O與Rt△ABC的重疊部分的面積為S_扇形OMEF+S_△AOM≈2.67cm²．
分析：（1）分兩種情況，當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切；當BC邊與⊙O相切時，分別求得對應(yīng)的t值．
（2）當點B運動到圓心O時，AC邊與⊙O相切，重疊的部分為扇形，圓心角為60度，
故用扇形的面積公式可求得重疊的部分的面積；
當BC邊與⊙O相切時，⊙O與Rt△ABC的重疊部分為扇形OMGE加上△OAM．
點評：本題利用了相切的概念，扇形的面積公式，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)的概念，直角三角形的性質(zhì)求解．